法向量怎么求

法向量怎么求

本文，介绍一下参数方程曲线的法向量的计算方法。

曲线参数方程：

{Sin[2 t], Cos[3 t], t/(Pi)}

作图：

ParametricPlot3D[{Sin[2 t], Cos[3 t], t/(Pi)}, {t, 0, 2 Pi}]

单位切向量的计算：

qie = D[r, t]/Sqrt[D[r, t].D[r, t]] // FullSimplify

绘制曲线上在t=1点处的单位切向量：

Graphics3D[{Red, Arrow[{r, r + qie} /. t -> 1]}]

计算单位法向量：

fa = D[qie, t]/Sqrt[D[qie, t].D[qie, t]];

绘制单位法向量：

Graphics3D[{RGBColor[0, 0.5, 0], Arrow[{r, r + fa} /. t -> 1]}]

r关于t的二阶导数，一般情况下不是法向量：

wei = D[r, {t, 2}]/Sqrt[D[r, {t, 2}].D[r, {t, 2}]]

画图可知：

Graphics3D[{RGBColor[0, 0.5, 1], Arrow[{r, r + wei} /. t -> 1]}]

可以发现，wei向量和fa向量不重合。

曲线上不同位置的法向量动态图。