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3×3矩阵的行列式怎么求

3×3矩阵的行列式怎么求

的有关信息介绍如下:

3×3矩阵的行列式怎么求

矩阵的行列式常用于微积分、线性代数和高等几何。求一个矩阵的行列式一开始可能会让人困惑,但只要做过几次后,你就会觉得并不是那么难。

写出3×3矩阵。我们从3x3矩阵A开始,试着找出它的行列式|A|。下面是我们将使用的一般矩阵表示法,以及示例矩阵:

选择单行或单列。这将是引用行或列。不管你选哪一行或列,结果都是一样的。现在,只选择第一行。稍后,我们将给出一些关于如何选择最简单的计算方法的建议。

我们选择示例矩阵A的第一行,圈出1 5 3。一般来说,圈出11 a12 a13。

划掉第一个元素的行和列。查看圈出的行或列,并选择第一个元素。通过它的行和列画线。剩下四个数字。我们把它看成一个2×2矩阵。

在本例中,引用行是1 5 3。第一个元素在第1行和第1列。划掉第一行和第一列。把剩下的元素写成2×2矩阵:

1 5 3

2 4 1

4 6 2

求出2x2矩阵的行列式。记住,这个矩阵1有展开式为ad - bc的行列式。你可以通过在2×2矩阵上画一个X来学习这种方法。将X中\连接的两个数字相乘,然后减去/连接的两个数字的乘积。用这个公式计算你刚找出的矩阵的行列式。

在本例中,矩阵的行列式2为= 4 * 2 - 7 * 6 =-34。

这个行列式叫作原始矩阵中所选的元素的余子式。在本例中,我们刚找出了a11的余子式。

将结果乘以你选择的元素。记住,当你决定划去哪一行和哪一列时,是从引用行(或列)中选择了一个元素。将这个元素乘以刚刚计算出的2x2矩阵的行列式。

在本例中,我们选择了a11,值为1。将它乘以-34(2x2矩阵的行列式),得到1*-34 =-34。

确定答案的正负号。接下来,将答案乘以1或-1来得到所选元素的代数余子式。你用哪一个取决于元素在3x3矩阵中的位置。记住这个简单的正负号图来找出哪个元素是正,哪个元素是负:

+- +- + -+ - +

由于我们选择了a11,用a +标记,将结果乘以1。(也就是说,不用管它)。答案还是-34。

或者,你可以用公式(-1)i+j来计算正负号,其中i和j是该元素的行数和列数

对引用行或列中的第二个元素重复这个过程。返回到初始的3x3矩阵,包含你之前圈出的行或列。对这个元素重复相同的过程:

划掉这个元素所在的行和列。在本例中,选择元素a12(值为5)。划掉第一行(1 5 3)和第二列。

将剩余元素当作一个2x2矩阵。在本例中,矩阵为

求出这个2x2矩阵的行列式。使用ad - bc公式。(2*2 - 7*4 = -24)

乘以3x3矩阵中选定的元素。-24 * 5 = -120

确定是否乘以-1。使用正负号表或(-1)ij公式。我们选择了元素a12,在正负号表中为负。因此要将更改结果的正负号:(-1)*(-120) =120。

对于三个元素重复这个操作。你还要找出一个余子式。计算引用行或列中第三项的i。在本例中,下面是计算a13余子式的简要描述:

划掉第1行和第3列,得到

它的行列式为2*6 - 4*4 = -4。

乘以元素a13:-4 * 3 = -12。

元素a13在正负号表中为正,所以结果是-12。

将三个结果加起来。这是最后一步。你已经算出来三个代数余子式,每个分别对应单行或单列中的每个元素。把它们加起来,你就得到了3x3矩阵的行列式。

在本例中,行列式为-34+120+-12=74。